Элементарная математика. Геометрия.

Задача 21

Две окружности радиусов $R$ и $r$ внешне касаются. Найти площадь круга, который касается данных окружностей и их внешней касательной.

Решение:

Обозначим $x$ — радиус третьей окружности. На рисунке $AB$ — общая внешняя касательная к заданным окружностям, $AC$ — к одной из заданных и к искомой, $BC$ — ко второй из заданных и к искомой. На основании Задачи 20 имеем $AB=2\sqrt{Rr}$, $AC=2\sqrt{Rx}$, $CB=2\sqrt{rx}$. Так как $AB=AC+BC$, то для нахождения $x$ получаем уравнение $2\sqrt{Rx}+2\sqrt{rx}=2\sqrt{Rr}$, решая которое находим $x=\frac{Rr}{{(\sqrt{R}+\sqrt{r})}^2}$. Таким образом, искомая площадь круга равна $\pi x^2=\frac{\pi(Rr)^2}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^4}$.

Ответ:

$\frac{\pi(Rr)^2}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^4}$.