Элементарная математика. Геометрия.

Задача 11

Окружность проходит через вершины $B$, $C$ и $D$ трапеции и касается боковой стороны $AB$ в точке $B$. Найти длину диагонали $BD$, если длины оснований равны 2 и 8.

Решение:
Покажем, что треугольники $ABD$ и $BCD$ подобны. Действительно, $\angle{CBD}=\angle{BDA}$ (внутренние накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$ и секущей $BD$), $\angle{ABD}=\frac{1}{2}\smile{BmD}$ (угол между касательной и хордой), $\angle{BCD}=\frac{1}{2}\smile{BmD}$ (вписанный угол), значит $\angle{ABD}=\angle{BCD}$. Приравниваем отношения сходственных сторон треугольников $ABD$ и $BCD$, т. е сторон, лежащих против равных углов: $\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{BD}$, откуда ${{BD}^2=AD*BC=16} {\Rightarrow} {BD=4}$.

Ответ:

4