Элементарная математика. Геометрия.

Задача 6

Около круга описан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $E$. Радиусы окружностей, описанных около треугольников $AEB$, $BEC$ и $CED$ равны соответственно $R_1$, $R_2$ и $R_3$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $AED$ ( $R_4$).

Решение:
Обозначим $\angle AEB=\alpha$. Тогда и $\angle CED=\alpha$, а $\angle BEC=\angle BEC=\Pi-\alpha$. Значит, синусы всех этих углов равны между собой. По теореме синусов $\frac{AB}{sin\angle AEB}=2R_1 \Rightarrow AB=2R_1sin\angle AEB=2R_1sin\alpha$. Аналогично $BC=2R_2sin\alpha$, $CD=2R_3sin\alpha$, $AD=2R_4sin\alpha$. Так как в четырехугольник можно вписать окружность, то $AB+CD=BC+AD \Rightarrow R_1+R_3=R_2+R_4$ ($2$ и $sin\alpha$ сокращаются).

Ответ:

$R_4=R_1+R_3-R_2$.