Задача 17

В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC=a, \angle ABC=\alpha. Полуокружность с центром на стороне AC касается сторон AB и BC в точках D и E соответственно. Касательная к этой полуокружности в точке M пересекает сторону AB в точке F, а сторону BC в точке G. Найти периметр треугольника BFG.

Решение:

Центр O полуокружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе \angle ABC.

На основании свойств касательных, проведенных к окружности из одной точки, DF=FM, MG=GE. Поэтому искомый периметр P=BF+FM+MG+GB=BF+FD+GE+GB=2BD.

Так как треугольник равнобедренный, то \angle ABO=\frac{\alpha}{2}. Из треугольников DBO и ABO находим:
BD=OB \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})=(AB \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})) \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})=a \cdot \cos^2(\frac{\alpha}{2}).
P=2BD=2 a \cdot \cos^2(\frac{\alpha}{2}).

Ответ:

2 \cdot a \cos^2(\frac{\alpha}{2}).
Last modified: Thursday, 23 February 2017, 12:08 PM