Элементарная математика. Геометрия.

Задача 15

В трапеции $ABCD$ заданы основания $BC=20$, $AD=30$ и боковые стороны $AB=6$, $CD=8$. Найти радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$, и касающейся стороны $CD$ или ее продолжения.

Решение:

Проведем $BF \parallel CD$. В треугольнике $ABF$ $AB=6$, $BF=CD=8$, $AF=AD-BC=10$, значит, он прямоугольный, $BF \perp AB$. Центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$, находится на серединном перпендикуляре отрезка $AB$. Если $MK$ — серединный перпендикуляр, то $BF \parallel MK$, поскольку оба перпендикулярны $AB$. Тогда и $CD \parallel MK$.

Так как окружность касается прямой $CD$, а ее центр лежит на $MK$, то радиус окружности совпадает с расстоянием между этими параллельными прямыми. Через точку $K$ проведем $KE\perp CD$. Отрезок $KE$ равен искомому радиусу.

Через точку $F$ проведем $HG \parallel KE$ , $KE=HG$. $HG=HF+FG$, а $HF=MB=\frac {AB}{2}=\frac {6}{2}=3$. $\triangle ABF \sim \triangle FGD$ т.к. $\angle BAF = \angle GFD$ как соответствующие при параллельных прямых $AB$ и $FG$ и секущей $AD$, $\angle ABF = \angle FGD = 90^\circ$.
$\frac {AB}{FG}= \frac {AF}{FD}$, $FD=BC$ $\Rightarrow$ $FG=\frac {AB \cdot FD}{AF}=\frac {6 \cdot 20}{10}=12$ $\Rightarrow$ $KE=HG=3+12=15$.

Ответ:

$15$