Элементарная математика. Геометрия.

Задача 10

Диагонали трапеции равны $26$ и $30$, расстояние между серединами оснований равно $14$. Найти площадь трапеции.

Решение:

На рисунке $AC=26$, $BD=30$, $M$– середина $BC$, $N$ — середина $AD$, $MN=14$. Через точку $C$ проведем $CK\parallel MN$, $CE\parallel BD$ ($E$ — точка пересечения этой прямой с продолжением основания $AD$).
Четырехугольник $BCED$ является параллелограммом (противоположные стороны параллельны) поэтому $BC=DE$. Треугольники $ABC$ и $CDE$ имеют одинаковые основания и высоты, поэтому и площади у них совпадают. Тогда $S_{ABCD} = S_{ABC}+S_{ACD}=S_{ECD}+S_{ACD}=S_{ACE}$.
В треугольнике $ACE$ известны стороны $AC=26$, $CE=BD=30$. Кроме того, $AK=AN+NK=AD/2+BC/2=(AD+BC)/2=AE/2$, т.е. $CK$ — медиана.

Таким образом, вычисление площади трапеции свелось к вычислению площади треугольника, в котором известны две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне. Треугольник $ACE$ достроим до параллелограмма $ACEL$, медиану $CK$ продлим, и получим диагональ параллелограмма $CL$. Тогда $CL=2CK=28$, $S_{ACE}=S_{ACL}$, а площадь последнего можно найти по формуле Герона: $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{42\cdot14\cdot12\cdot16}=\sqrt{6^2\cdot7^2\cdot2^6}=336$.

Ответ:

336