Элементарная математика. Геометрия.

Задача 24

Три окружности касаются внешне попарно. Две из них имеют радиусы, равные $3$, а одна — $1$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, где $A$, $B$ и $C$ — точки касания.

Решение:

Обозначим $K$ , $L$ и $M$ — центры заданных окружностей. Доказано, что искомая окружность совпадает с окружностью, вписанной в $\triangle KLM$ . Стороны этого треугольника равны $4$, $4$ и $6$, площадь можно найти, например, по формуле Герона: $S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=3 sqrt{7}$ . Тогда радиус вписанной окружности находим по формуле $R=\frac{S}{p}$ , где $p$ — полупериметр.

Ответ:

$R=\frac{3sqrt{7}}{7}$.