Элементарная математика. Геометрия.

Задача 12

Основания трапеции $a$ и $b$ . Найти длину отрезка, параллельного основаниям, с концами на боковых сторонах трапеции, делящего ее площадь пополам.

Решение:

Пусть $a$ – нижнее основание трапеции, а $b$ – ее верхнее основание. Обозначим $x$ искомый отрезок, $h_1$ и $h_2$ – высоты трапеций, прилежащие соответственно к верхнему и к нижнему основаниям. Тогда в силу равенства площадей:

${ (a+b)(h_1+h_2)=2(a+x)h_1,}\newline {\hspace{0.65cm} (a+b)(h_1+h_2)=2(b+x)h_2,}$ $\Leftrightarrow$ ${ (a+2x-b)h_1=(a+b)h_2}\newline {\hspace{0.65cm} (b+2x-a)h_2=(a+b)h_1,}$ $\Leftrightarrow$ $(a+2x-b)(b+2x-a)h_1h_2=(a+b)^2h_1h_2$ $\Rightarrow$
$4x^2=(a-b)^2+(a+b)^2=2(a^2+b^2)$ $\Rightarrow$ $x=\sqrt{(a^2+b^2)/2}$ .

Ответ:

$\sqrt{(a^2+b^2)/2}$ .