Элементарная математика. Геометрия.

Задача 19

Отрезок $AB$ есть диаметр круга, точка $C$ лежит вне этого круга. Отрезки $AC$ и $BC$ пересекаются с окружностью в точках $D$ и $E$ соответственно. Найти $\angle CBD$, если площади треугольников $ABC$ и $DCE$ относятся как $4 : 1$.

Так как $AB$ — диаметр, то $\angle ADB$ $=$ $\angle AEB$. Из прямоугольных треугольников $DCB$ и $ACE$ находим $\frac{DC}{CB}$ $=$ $\cos \angle C$ $=$ $\frac{CE}{AC}$. Треугольники $ABC$ и $DCE$ имеют общий $\angle C$, поэтому их площади относятся как произведения сторон, содержащих этот общий угол. Поэтому

$\frac{1}{4} = \frac{S_{DCE}}{S_{ABC}}$ $=$ $\frac{DC \cdot CE}{AC \cdot BC}$ $=$ $\frac{DC}{BC} \cdot \frac{CE}{AC}$ $=$ $\cos^2 \angle C$ $\Longrightarrow$

$\Longrightarrow$ $\cos \angle C = \frac{1}{2}$ $\Longrightarrow$ $\angle C = 60^\circ$ $\Longrightarrow$ $\angle CBD = 30^\circ$.

Ответ:

$30^\circ$.