Элементарная математика. Геометрия.

Задача 5

Около окружности описана трапеция. Доказать, что концы боковой стороны трапеции и центр окружности являются вершинами прямоугольного треугольника. Доказать, что произведение отрезков боковой стороны, на которые она разделена точкой касания, равно квадрату радиуса окружности.

Доказательство:

Центр окружности, вписанной в угол, находится на биссектрисе этого угла. Поэтому $\angle CDO + \angle DCO = (\angle BCD + \angle ADC)/2 = 90^\circ , \angle DOC = 90^\circ$. Если $ON$ — радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания, то это высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, которая равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу. Таким образом, $ON^2=NC * ND$. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано.