Элементарная математика. Геометрия.

Задача 4

Дана трапеция $ABCD$. Большее основание трапеции равно $a$, а меньшее – $b$. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

Решение: На рисунке $KL$ – средняя линия трапеции. Покажем, что она проходит через середины диагоналей. Действительно, $M$ – середина $AB$ и $KM\parallel{}BC$, значит $KM$ – средняя линия треугольника $ABC$, а значит $K$ – середина $AB$.

Аналогично доказывается, что $L$ – середина $CD$. Точно так же можно показать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами, лежащими на основаниях трапеции или их продолжениях.

Теперь получаем: $KM=\frac{BC}{2}$(средняя линия $\triangle{ABC}$), $KN=\frac{AD}{2}$(средняя линия $\triangle{ABD}$) $\Rightarrow$ $MN=\frac{AD}{2}-\frac{BC}{2}=\frac{AD-BC}{2}=\frac{a-b}{2}$.

Ответ:

$\frac{a-b}{2}$.