Элементарная математика. Геометрия.

Задача 18

В окружности радиуса $R$ проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$. Найти расстояние $AC$ , если $BD=a$.

Решение:
Пусть $O$ центр окружности. Проведем $OE \bot DB$ и $OF \bot AC$ . Очевидно, что $\smile AC+ \smile DB=180^\circ$ , значит, $\angle AOF + \angle DOE=90^ \circ$ $\Rightarrow$ $\angle AOF = \angle ODE$ $\Rightarrow$ $\triangle AOF = \triangle ODE$. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому $OF = DE = \frac {a}{2}$. Из $\triangle AOF$ находим $AC=2AF = 2 \sqrt{AO^2 - OF^2}=$ $2 \sqrt{R^2 - \frac {a^2} {4}}$.

Ответ:

$2 \sqrt{R^2 - \frac {a^2} {4} }$.