Элементарная математика. Геометрия.

Задача 13

Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из её боковых сторон на три равные части. Найти площадь средней части, если площадь крайних $S_{1}$ и $S_{2}$.

Решение:
На рисунке $MN\parallel{}KL\parallel{}BC\parallel{}AD$. Проведём $CE\parallel{}NF\parallel{}LG\parallel{}AB$. На основании теоремы Фалеса и свойств параллелограмма $PN\parallel{}QS\parallel{}SL\parallel{}EF\parallel{}FG\parallel{}GD$. Обозначим чрез $x$ длину каждого из указанных отрезков, $b$ — длину верхнего основания, $h$ — высоту всех трёх трапеций.

Тогда
$S_{AKLD}+S_{MBCN}=\frac{1}{2}h((AD+KL)+(MN+BC))=(2b+3x)h=(MN+KL)h=2S_{KMNL}$.
Окончательно получаем $S_{KMNL}=\frac{(S_1+S_2)}{2}$.

Ответ:

$\frac{(S_1+S_2)}{2}$.