Элементарная математика. Геометрия.

Задача 14

Перпендикуляр к боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$, проходящий через ее середину $K$, пересекает сторону $CD$ в точке $L$. Площадь $AKLD$ в $5$ раз больше площади $BKLC$, $CL=3, DL=15, KC=4$. Найти длину $KD$.

Решение:

Так как $\frac{DL}{CL}=5$, то $S_{KLD}=5S_{KLC}$,$S_{AKLD}=S_{AKD}+S_{KLD}=S_{AKD}+5S_{KLC}$ . Но по условию задачи $S_{AKLD}=5S_{BKLC}=5S_{BKC}+5S_{KLC}$, значит, $S_{AKD}=5S_{BKC}$ . В треугольниках $BKC$ и $AKD$ проведем высоты $CM$ и $DN$ соответственно и покажем, что треугольники $MKC$ и $KDN$ подобны. Действительно, они оба прямоугольные, $\frac{MK}{KN}=\frac{CL}{LD}=\frac{1}{5}$(теорема Фалеса), $\frac{CM}{DN}=\frac{S_{KBC}}{S_{AKD}}=\frac{1}{5}$ (эти треугольники имеют одинаковые основания), значит, $\frac{CK}{KD}=\frac{1}{5}$. Таким образом, $KD=20$.

Ответ:

20