Элементарная математика. Геометрия.

Задача 9.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ являются соответственно серединами сторон $AB$,$BC$,$CD$ и $AD$, $E$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $LN$ . Известно, что $\angle LEM = 90^\circ$, $KM=3LN$ , а площадь четырехугольника $KLMN$ равна $3$. Найти длины диагоналей четырехугольника $ABCD$.

Решение:

Из задачи 1 вытекает, что четырехугольник $KLMN$ — параллелограмм, причем, т.к. его диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб. Учитывая, что одна из диагоналей этого ромба в три раза больше другой, и что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, получаем:$3=KM \cdot LN/2=3\cdot LN^2/2$ $\Rightarrow$ $LN=\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ $LE=\sqrt{2}/2$ $\Rightarrow$ $KE=3\sqrt{2}/2$ . По теореме Пифагора из треугольника $KEL$ находим $KL=\sqrt{KE^2+EL^2}=\sqrt{20/4}=\sqrt{5}$. Тогда $AC=BD=2 KL=2 \sqrt{5}$.

Ответ:

$2 \sqrt{5}$.