Элементарная математика. Геометрия.

Задача 3

Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Доказать, что площади двух треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны. Найти площадь трапеции, если известны площади $S_{1}$ и $S_{2}$ треугольников, прилежащих к основаниям.

Решение:

На рисунке треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общее основание $AD$ и одинаковые высоты, значит, их площади равны. Поэтому $S_{AOB}=S_{ADB}-S_{AOD}=S_{ACD}-S_{AOD}=S_{COD}$ . Пусть $S_{BOC}=S_{1}$, а $S_{AOD}=S_{2}$ . Обозначим $S_{AOB}=S$. Покажем вначале, что произведения площадей треугольников, лежащих в вертикальных углах, совпадают (это свойство справедливо и для любого выпуклого четырехугольника). Действительно, если $\angle BOA=\alpha$, то $S_{BOC} S_{AOD}=\frac{1}{2} BO\cdot OC sin \alpha=\frac{1}{2}BO\cdot AO sin(\pi-\alpha)=S_{AOB} S_{DOC}$. Таким образом, $S^{2}=S_{1} S_{2}\Longrightarrow S=\sqrt{S_{1} S_{2}}$ , значит $S_{ABCD}=S_{1}+S_{2}+2 S=S_{1}+S_{2}+2\sqrt{S_{1} S_{2}}=(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^2$.

Ответ:

$(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^2$