Элементарная математика. Геометрия.

Задача 22

Три равных окружности радиуса $r$ попарно касаются. Найти площадь($S$) $\bigtriangleup{ABC}$, который образован общими внешними касательными к этим окружностям.

Решение:

Если $M$ $N$ и $K$– центры заданных окружностей, то $\bigtriangleup{MNK}$– равносторонний. Стороны $\bigtriangleup{MNK}$ параллельны соответствующим сторонам $\bigtriangleup{ABC}$, значит, он тоже равносторонний. $BK$ – биссектриса, поэтому $\angle{KBE}=30^\circ$. Если $E$ и $D$– точки касания двух окружностей со стороной $BC$, то $BC=BE+ED+DC=2BE+ED=2r \text{ctg}{30^\circ}+2r=2r(1+{\sqrt{3}})$. Тогда $S=(2r(1+{\sqrt{3}}))^{2}{\sqrt{3}}:{4}=2r^{2}(2{\sqrt{3}}+3)$.

Ответ:

$2r^{2}(2{\sqrt{3}}+3)$