Элементарная математика. Геометрия.

Задача 8.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Известно, что площадь каждого из треугольников $AEB$ и $CED$ равна $7$,а площадь всего четырехугольника не превосходит $28$, $AD$=$\sqrt5$ .Найти $BC$.

Решение:

Обозначим $S_{\triangle BEC}=S_1$, $S_{\triangle AED}=S_2$, $S_{\triangle AEB}=S_{\triangle CED}=S$. Находим $S_1 \cdot S_2=S^2=49$ (в выпуклом четырёхугольнике произведение площадей противоположных треугольников равны). На основании неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом, $S_1$+$S_2$ $\geq$ $2$ $\sqrt {S_1 S_2}$ . С другой стороны, из условия получаем $S_1$+$S_2$ $\leq$ $14$ . Таким образом, $S_1$+$S_2$ $=$ $14$ . В неравенстве о среднем арифметическом и среднем геометрическом знак равенства возможен только в том случае, когда числа одинаковые, поэтому $S_1$ $=$ $S_2$ $=$ $7$ $=$ $S$ . Треугольники $AEB$ и $CEB$ имеют общую вершину $B$, а основания их лежат на одной прямой $AC$. В силу того, что равны площади этих треугольников, равны и длины их оснований, т.е.$AE$ $=$ $EC$. Аналогично получаем, что $BE$ $=$ $ED$ . Это означает, что в четырехугольнике $ABCD$ диагонали в точке пересечения делятся пополам, значит, это параллелограмм. Поэтому $AD$ $=$ $BC$ $=$ $\sqrt{5}$.

Ответ:

$\sqrt{5}$