Задача 8.

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Известно, что площадь каждого из треугольников AEB и CED равна 7,а площадь всего четырехугольника не превосходит 28, AD=\sqrt5 .Найти BC.

Решение:

Обозначим S_{\triangle BEC}=S_1, S_{\triangle AED}=S_2, S_{\triangle AEB}=S_{\triangle CED}=S. Находим S_1 \cdot S_2=S^2=49 (в выпуклом четырёхугольнике произведение площадей противоположных треугольников равны). На основании неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом, S_1+S_2 \geq 2 \sqrt {S_1 S_2} . С другой стороны, из условия получаем S_1+S_2 \leq 14 . Таким образом, S_1+S_2 = 14 . В неравенстве о среднем арифметическом и среднем геометрическом знак равенства возможен только в том случае, когда числа одинаковые, поэтому S_1 = S_2 = 7 = S . Треугольники AEB и CEB имеют общую вершину B, а основания их лежат на одной прямой AC. В силу того, что равны площади этих треугольников, равны и длины их оснований, т.е.AE = EC. Аналогично получаем, что BE = ED . Это означает, что в четырехугольнике ABCD диагонали в точке пересечения делятся пополам, значит, это параллелограмм. Поэтому AD = BC = \sqrt{5}.

Ответ:

\sqrt{5}
最后修改: 2017年02月23日 星期四 10:25