ЭМГеометрия: Задача 38

Задача 38

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным $a$ , через точки $M$ на ребре $BB_1$ и $N$ на $DD_1$ такие, что $BM=\frac{3 a}{4}$ и $DN=\frac{a}{4}$ , параллельно $AC$ проведена секущая плоскость. Определить угол между секущей плоскостью и плоскостью $ABC$ .

Решение:

Для того, чтобы изобразить правильно угол между двумя указанными в условии плоскостями, построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки $M$ и $N$ параллельно $AC$ . С этой целью рассмотрим диагональную плоскость $AA_1C_1$ . Соединим точки $M$ и $N$ , тогда $AA_1C_1\cap MN=O$ , где точка $O$ — середина отрезка $MN$ . Поскольку, согласно условию, секущая плоскость параллельна $AC$ , то прямая $l$ ее пересечения с плоскостью $AA_1C_1$ также будет параллельна $AC$ . Точки пересечения прямой $l$ с ребрами $AA_1$ и $CC_1$ будут, соответственно, $P$ и $Q$ . Поэтому отрезок $QP || AC$ . Соединив последовательно отрезками точки $Q$ , $M$ , $P$ и $N$ , получим сечение $QMPN$ . Так как секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым, а диагонали перпендикулярны (лежат в перпендикулярных плоскостях), то четырехугольник $QMPN$ является ромбом.

Воспользуемся тем, что угол между плоскостями не изменяется при их параллельном переносе. Для наглядности перенесем плоскость $ABC$ параллельно самой себе на расстояние $DN$ . Получим сечение $NA'KC'$ . С целью нахождения угла между сечениями $QMPN$ и $NA'KC'$ изобразим ребро образуемого ими двугранного угла. Для этого построим две точки, через которые проходит ребро, при этом одна из них $T$ является пересечением прямых $MP$ и $KA'$ , а вторая $S$ — $MQ$ и $KC'$ . Очевидно, что точка $N$ принадлежит указанному ребру, т.е. $ST$ . По построению $\triangle MKS = \triangle MKT$ . Следовательно $MS = MT$ . Значит $\triangle MTS$ — равнобедренный с высотой $MN$ , как диагональю ромба $QMPN$ . Отрезок $KN$ является проекцией наклонной $MN$ на плоскость $NA'KC'$ , поэтому по теореме о трех перпендикулярах $KN\perp ST$ . Следовательно, угол $KNM$ равен линейному углу искомого двугранного угла (как углы с соответственно параллельными сторонами).