Элементарная математика. Геометрия.

Задача 5

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$, ребра которой равны $1$ , найти расстояние от точки $A$ до прямой $B_{1}C$.

Решение:

В квадрате $BCC_{1}B_{1}$ диагональ $BC_1$ равна $\sqrt{2}$ (см. рис. 3). В прямоугольном треугольнике $ACD$, где $\angle ACD=90^{\circ}$ , $AD=2$ , находим $AC= \sqrt{2^2-1^2}= \sqrt{3}$. Из прямоугольного треугольника $ACC_1$ имеем $AC_1= \sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=2$. В треугольнике $ABC_1$, используя теорему косинусов, получаем

$\cos{\phi}=\frac{2^2+\sqrt{2}^2-1^2}{2\cdot{2}\cdot{\sqrt{2}}}=\frac{5\sqrt{2}}{8}$,

где $\angle AC_{1}B=\phi$. Далее находим $\sin{\phi}=\frac{\sqrt{14}}{8}$ и из треугольника $AC_{1}H$ высоту

$AH=AC_1\sin{\phi}=2\cdot{\frac{\sqrt{14}}{8}}=\frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{14}}{4}$