Элементарная математика. Геометрия.

Задача 6

В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны $1$ , найти расстояние от точки $A$ до прямой, проходящей через точку $B$ и середину $E$ ребра $CD$.

Решение:

Так как все ребра $ABCD$ — равные правильные треугольники, то медианы $BE$ и $AE$ треугольников $BDC$ и $ADC$ (см. рис. 4) равны и $BE=AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $BEA$ и его высоты $EM$ и $AH$. Выражая площадь треугольника двумя способами, получаем

$S_{BEA}=\frac{1}{2}\cdot{AH}\cdot{BE}=\frac{1}{2}\cdot{EM}\cdot{AB}$,

получаем равенство $AH\cdot{BE}=EM\cdot{AB}$. Так как

$EM=\sqrt{BE^2-BM^2}=\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

то получаем

$AH=\frac{EM\cdot{AB}}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{1}\cdot{\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

В некоторых задачах удобно использовать плоскость, проходящую через данную точку перпендикулярно данной прямой.