Элементарная математика. Геометрия.

Задача 8

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти расстояние от точки $D_1$ до прямой $PQ$, где $P$ и $Q$ – середины соответственно ребер $A_1B_1$ и $BC$.

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Найдем координаты точек $P(0;\frac{1}{2};1)$, $Q(\frac{1}{2};1;0)$, $D_1(1;0;1)$. Тогда

$PQ=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1}$,

$D_1Q=\sqrt{\frac{1}{4}+1}+1=\frac{3}{2}$,

$D_1P=\sqrt{\frac{1}{4}+1+0}=\sqrt{\frac{5}{4}}$.

Из треугольника $D_1PQ$ , используя формулу $\cos\angle D_1PQ=\frac{D_1P^2+QP^2-D_1Q^2}{2\cdot D_1P\cdot QP}$, находим $\cos\angle D_1PQ=\frac{\frac{5}{4}+\frac{3}{2}-\frac{9}{4}}{2\cdot\sqrt{\frac{5}{4}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}}}=\sqrt{\frac{1}{30}}$.

Далее получаем $\sin\angle D_1PQ=\sqrt{1-(\sqrt{\frac{1}{30}})^2}=\sqrt{\frac{29}{30}}$.

Пусть $D_1N\perp PQ$, где $N\in PQ$.

Тогда $D_1N=D_1P\cdot\sin\angle D_1PQ$, $D_1N=\sqrt{\frac{5}{4}}\cdot\sqrt{\frac{29}{30}}=\sqrt{\frac{174}{144}}=\frac{\sqrt{174}}{12}$.

Ответ:$\frac{\sqrt{174}}{12}$