Элементарная математика. Геометрия.

Задача 7

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти расстояние от точки $D$ до прямой $A_1C$.

Решение:

Пусть $A_1C\cap BDC_1= F$. Так как $A_1C\perp BDC_1$ , то $FC_1=FB=FD$, как проекции на плоскость $BDC_1$ равных наклонных $CC_1$, $CB$ и $CD$ соответственно.

Следовательно,точка $F$ является центром правильного треугольника $BDC_1$. Поэтому искомое расстояние равно радиусу окружности,описанной около треугольника $BDC_1$.

Сторона этого треугольника равна $\sqrt{2}$, значит, $\rho(D,A_1C)=DF=\frac{DB}{2sin{\alpha}}=\frac{ \sqrt{ 2 }}{2sin{60^\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$