Элементарная математика. Геометрия.

Задача 15

В единичном кубе $A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$ найти расстояние от точки $A_1$ до плоскости $B D C_1$.

Пусть $\vec{A D} = \vec{a}$, $\vec{A B} = \vec{b}$,$\vec{A A_1} = \vec{c}$ (см. рис.), тогда $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.



Выразим векторы $\vec{D B}$,$\vec{D C_1}$,$\vec{C_1 A_1}$ через базисные $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:

$\vec{D B} = \vec{b} - \vec{a}$, $\vec{D C_1} = \vec{b} + \vec{c}$, $\vec{C_1 A_1} = - \vec{a} - \vec{b}$.

Пусть $M A_1 \bot B D C_1$, где $M \in B D C_1$. Вектор $\vec{C_1 M} = x \cdot \vec{D B} + y \cdot \vec{D C_1}$, поэтому $\vec{M A_1} = \vec{C_1 A_1} - \vec{C_1 M} = \vec{C_1 A_1} - (x \cdot \vec{D B} + y \cdot \vec{D C_1})$. Далее имеем

$\vec{M A_1} \bot \vec{D B}$,
$\vec{M A_1} \bot \vec{D C_1}$
$\Updownarrow$
$\vec{M A_1} \cdot \vec{D B} = 0$,
$\vec{M A_1} \cdot \vec{D C_1} = 0$
$\Updownarrow$
$\vec{C_1 A_1} \cdot \vec{D B} - (x \cdot {\vec{D B}^2} + y \cdot \vec{D C_1} \cdot \vec{D B}) = 0$,
$\vec{C_1 A_1} \cdot \vec{D C_1} - (x \cdot \vec{D B} \cdot \vec{D C_1} + y \cdot \vec{D C_1}^2) = 0$.

Так как

$\vec{C_1 A_1} \cdot \vec{D B} = (- \vec{a} - \vec{b})(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a}^2-\vec{b}^2 = 0$,
$\vec{D C_1} \cdot \vec{D B} = (\vec{b} + \vec{c})(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b}^2 = 1$,
$\vec{D C_1} \cdot \vec{C_1 A_1} = (\vec{b} + \vec{c})(- \vec{a} - \vec{b}) = - \vec{b}^2 = -1$,
$\vec{D B}^2 = (\vec{b} - \vec{a})^2 = \vec{b}^2 + \vec{a}^2 = 2$,
$\vec{D C_1}^2 = (\vec{b} + \vec{c})^2 = \vec{b}^2 + \vec{c}^2 = 2$,

то имеем

$0 - (x \cdot 2 + y \cdot 1) = 0$,
$-1 - (x \cdot 1 + y \cdot 2) = 0$
$\Updownarrow$
$2 x + y = 0$,
$x + 2 y = -1$
$\Updownarrow$
$x = \frac{1}{3}$,
$y = -\frac{2}{3}$.

Отсюда получаем

$\vec{M A_1} = - \vec{a} - \vec{b} - \frac{1}{3} (\vec{b} - \vec{a}) + \frac{2}{3} (\vec{b} + \vec{c}) = - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$,
$|\vec{M A_1}| = \sqrt{(- \frac{2}{3} \vec{a}^2 - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c})^2} = \sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$