Элементарная математика. Геометрия.

Задача 16

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найти расстояние от точки $C$ до плоскости $BDC_1$.

Решение. Искомое расстояние $x$ равно высоте $CQ$ (см. рис. 1), опущенной в пирамиде $BCDC_1$ из вершины $C$ на основание $BDC_1$ . Объем этой пирамиды равен
$\frac{1}{3}S_{BCD} \cdot CC_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot CC_1 = \frac{a^3}{6}$.
С другой стороны, так как треугольник $BDC_1$ равносторонний со стороной $a\sqrt{2}$, объем пирамиды равен
$\frac{1}{3}S_{BC_{1}D} \cdot CQ = \frac{1}{3}$ $\cdot \frac{(a\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} \cdot x =$ $\frac{a^2 \sqrt{3}}{6}\cdot x$.
Отсюда получаем уравнение$\frac{a^3}{6} = \frac{{a}^2 \sqrt{3}}{6}\cdot x$
из которого находим $x = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{a\sqrt{3}}{3}$