Элементарная математика. Геометрия.

Задача 19

В кубе, длина ребра которого равна $a$, найти расстояние между ребром и диагональю, не пересекающей его грани.

В качестве примера найдём расстояние между ребром $AA_{1}$ и диагональю $D_{1}C$ (см. рис.). Прямые $AA_{1}$ и $D_{1}C$ - скрещивающиеся. Используя каждый из отмеченных способов, покажем, что расстояние $\rho$ между ними равно $a$.
1-ый способ: Так как $A_{1}D_{1} \perp AA_{1}$ и $A_{1}D_{1} \perp D_{1}C_{1}$, то $A_{1}D_{1}$ - общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых $AA_{1}$ и $D_{1}C$. Расстояние $\rho$ между $AA_{1}$ и $DD_{1}C_{1}$ равно $A_{1}D_{1}=a$.
2-ой способ: Так как плоскость $DD_{1}C_{1}$, содержащая $D_{1}C$, параллельна $AA_{1}$, то расстояние $\rho$ от $AA_{1}$ до $DD_{1}C_{1}$ равно $a$.
3-ий способ: Плоскость $DD_{1}C_{1}$, содержащая $D_{1}C$, параллельна плоскости $AA_{1}B_{1}$, содержащей $AA_{1}$, и расстояние $\rho$ между ними равно $a$.
4-ый способ: Плоскость $ABC$ перпендикулярна прямой $AA_{1}$. Точка $A$ - проекция $AA_{1}$ на эту плоскость. Проекцией $D_{1}C$ на плоскость $ABC$ является $DC$. Расстояние $\rho$ от точки $A$ до $DC$ равно $a$.

Ответ:

$a$