Элементарная математика. Геометрия.

Задача 18

Точки $A$, $B$, $C$, $D$ являются вершинами параллелограмма, ни одна из сторон которого не пересекает плоскость $\alpha$. Точки $A$, $B$, $C$ удалены от плоскости $\alpha$ на расстояние $2$, $3$, $6$ соответственно. Найти расстояние от вершины $D$ до плоскости $\alpha$.

Опустим перпендикуляр из вершин $A$, $B$, $C$ и $D$ на плоскость $\alpha$. Точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ - их ортогональные проекции на $\alpha$ (см. рис.).Точка O - точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$, которая проектируется в точку $O_{1}$ - точку пересечения диагоналей параллелограмма $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ (по свойству проекций). Так как точка $O$ делит отрезки $AC$ и $BD$ пополам, то по свойству проекций отрезков точка $O_{1}$ делит отрезки $A_{1}C_{1}$ и $B_{1}D_{1}$ пополам. Четырёхугольник $C_{1}CAA_{1}$ и $D_{1}DBB_{1}$ - трапеции. Отрезок $OO_{1}$ - их средняя линия. Тогда $\frac{CC_{1}+AA_{1}}{2}=\frac{DD_{1}+BB_{1}}{2}$. Отсюда $DD_{1}=CC_{1}+AA_{1}-BB_{1}$ и, так как $CC_{1}=6$, $BB_{1}=3$, $AA_{1}=2$, то $DD_{1}=5$.

Ответ:

5