Элементарная математика. Геометрия.

Задача 22

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, рёбра которой равны $1$, найти расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Найдём синус угла $\varphi$ между данными прямыми. Так как $AB_1\||BM$, то получим косинус угла $\varphi$ из треугольника $MBC_1$:

$cos{\varphi}= \frac{BM^2+BC_1^2-MC_1^2}{2\cdot BM \cdot BC_1}=\frac{2+2-1}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{4}.$

Тогда $\sin{\varphi}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$

Расстояние от точки $C_1$ до прямой $A_1B_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Объём пирамиды $ABB_1C_1$ с основанием $ABB_1$ равен

$V=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{12}.$

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равно

$d=\frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$

Ответ:

$\frac{\sqrt{21}}{7}$