Элементарная математика. Геометрия.

Задача 21

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти расстояние между диагональю куба $BD_1$ и диагональю грани $AB_1$.

Найдём искомое расстояние по формуле $\frac{6\cdot V}{AB_1\cdot BD_1\cdot \sin{\varphi}}$, где $V$ — объём пирамиды $ABB_1D_1$ (см. рис.), $AB_1=\sqrt{2}, BD_1=\sqrt{3}, \varphi=\frac{\pi}{2}$ — угол между прямыми $BD_1$ и $AB_1$. Так как площадь основания $ABB_1$ пирамиды $ABB_1D_1$ равна $\frac{1}{2}$, а высота $A_1D_1$ равна 1, то $V=\frac{1}{6}$. Следовательно, $d=\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$.

Ответ:

$\frac{1}{\sqrt{6}}$