Элементарная математика. Геометрия.

Задача 23

В кубе $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ найти угол между прямыми $A_1D$ и $D_1 E$, где $E$ — середина ребра $CC_1$.

Решение:

Пусть $F$ — середина ребра $BB_1$, $a$ — ребро куба, $\varphi$ — искомый угол(см. рис.).

Так как $A_1 F || D_1 E$, то $\varphi$ — угол при вершине $A_1$ в треугольнике $A_1 FD$.
Из треугольника $BFD$ имеем $FD^2 = BD^2 + BF^2 = 2a^2 + \frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{4}$, а из треугольника $A_1 B_1 F$ получаем
$A_1 F^2 = A_1 B_1^2 + B_1 F^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$, откуда $A_1 F = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Далее в треугольнике $A_1 FD$ используем теорему косинусов
$FD^2 = A_1 D^2 + A_1 F^2 - 2A_1 D \cdot A_1 F \cos{\varphi}$, $\frac{9a^2}{4} = 2a^2 + \frac{5a^2}{4} - 2a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}\cos{\varphi}$,
откуда $\cos{\varphi} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ и $\varphi = \arccos{\frac{1}{\sqrt{10}}}$.

Ответ:

$\varphi = \arccos{\frac{1}{\sqrt{10}}}$.

Замечание. Для упрощения вычислений длину ребра куба удобно принять за единицу.