Элементарная математика. Геометрия.

Задача 24

В правильной треугольной призме $ABCA_1 B_1 C_1$, ребра которой равны 1, найти угол между прямыми $AC_1$ и $B_1 C$.

Решение:

Проведем $CM||AC_1$(см. рис.).

Тогда $\angle (AC_1,B_1 C) = \angle (CM,B_1 C) = \varphi$.
Из треугольника $MC_1 B_1$ с помощью теоремы косинусов находим $MB_1 ^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cdot 1 \cdot 1 \cdot (-0,5) = 3$.
Далее из треугольника $MCC_1$, используя теорему косинусов, получаем $\cos{\varphi} = \frac{2+2-3}{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{4}$ и $\varphi = \arccos{\frac{1}{4}}$.

Ответ:

$\arccos{\frac{1}{4}}$