Элементарная математика. Геометрия.

Задача 26

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найти угол между прямыми $AE$ и $DF$, где $E$ и $F$ – точки, расположенные на ребрах $CD$ и $C_1D_1$ так, что $DE=\frac{1}{3}DC$ , $C_1F=\frac{1}{3}C_1D_1$.

Решение:

Суть векторно-координатного метода

При нахождении угла $\varphi$ между прямыми $m$ и $l$ используют формулу $\cos \varphi = \frac{|\vec{p}\cdot\vec{q}|}{|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|}$ или в координатной форме: $\cos \varphi = \frac{|x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2|}{\sqrt{(x_1^2+y_1^2+z_1^2})\cdot \sqrt{(x_2^2+y_2^2+z_2^2})}$ , где $\vec{p}=(x_1,y_1,z_1)$ и $\vec{q}=(x_2,y_2,z_2)$ — векторы, соответственно параллельные этим прямым; в частности, для того, чтобы прямые $m$ и $l$ были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы $\vec{p} \cdot \vec{q}=0$ или $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2=0$.

Тогда $A(0;0;0)$, $D(1;0;0)$, $E(1;\frac{1}{3};0)$, $F(1;\frac{2}{3};1)$, $\vec{AE}=\{1;\frac{1}{3};0\}$, $\vec{DF}=\{0;\frac{2}{3};1\}$,

$\cos{\alpha}=\frac{|\vec{AE} \cdot \vec{DF}|}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{DF}|} =\frac{\frac{2}{9}}{\frac{\sqrt{10}}{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{3} }=\frac{2}{\sqrt{130}}$

$\alpha=\arccos{\frac{2}{\sqrt{130}}}$, где $\alpha -$искомый угол.

Ответ:

$\arccos{\frac{2}{\sqrt{130}}}$