Элементарная математика. Геометрия.

Задача 29

В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найти угол между прямыми $AD_{1}$ и $DM$, где $M$ — середина ребра $D_{1}C_{1}$.

Решение:

Пусть ребро куба равно $1$, точка $N$ — середина ребра $A_{1}B_{1}$, тогда искомый угол $\gamma$ равен углу между $AD_{1}$ и $AN$ (см. рис.).
Используем теорему косинусов для трехгранного угла c вершиной $A$, в котором $\angle A_{1}AD_{1}$ = $\alpha$, $\angle A_{1}AN$ = $\beta$, $\angle NAD_{1}$ = $\gamma$. Так как в кубе все двугранные углы при ребрах прямые, то $\phi = 90^\circ$. Тогда из теоремы следует, что
$cos\gamma = cos\alpha cos\beta$.
Из прямоугольного треугольника $A_{1}AD_{1}$ находим
$cos\alpha = cos45^\circ = \frac{\sqrt 2}{2}$,
из треугольника $A_{1}AN$ получаем
$cos\beta$ = $\frac{AA_{1}}{AN}$ = $1 \div \frac{\sqrt 5}{2}$ = $\frac{2}{\sqrt 5}$.
Отсюда $cos\beta$ = $\frac{\sqrt 2}{2}$ $\times$ $\frac{2}{\sqrt 5}$ = $\sqrt{\frac{2}{5}}$.
Следовательно, $\gamma$ = $arccos{\sqrt{\frac{2}{5}}}$.

Ответ:

$arccos{\sqrt{\frac{2}{5}}}$.