Элементарная математика. Геометрия.

Задача 30

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Его диагональ $B_{1}D$ составляет с ребром $AD$ угол $45^\circ$, а с ребром $DC$ угол $60^\circ$. Найти угол между прямыми $B_{1}D$ и $DD_{1}$.

Решение:

Так как параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ прямоугольный, то его ребра, выходящие из одной вершины попарно перпендикулярны. Рассмотрим вершину $D$ и воспользуемся формулой
$cos^{2}\alpha+cos^{2}\beta+cos^{2}\gamma=1$,
где $\angle ADB_{1}=\alpha$, $\angle CDB_{1}=\beta$, $\angle B_{1}BD_{1}=\gamma$.

Так как по условию $\alpha=45^\circ$, $\beta=60^\circ$, то получаем
$cos^{2}45^\circ+cos^{2}60^\circ+cos^{2}\gamma=1$,
$cos^{2}\gamma=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
Поскольку $\gamma$ — острый угол, то $cos\gamma=\frac{1}{2}$.
Отсюда $\gamma=60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$