Элементарная математика. Геометрия.

Задача 31

В правильной шестиугольной пирамиде $MABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $4$, найти синус угла между прямой $BC$ и плоскостью $EMD$.

Решение:

Так как $AD\||BC$, то $\angle(BC, EMD)=\angle(AD, EMD)$ (см. рис.) . Найти $\sin\angle(AD, EMD)$.

Высота пирамиды $MO=\sqrt{15}$. $ML$ — апофема боковой грани $EMD$. Высота $OH$ треугольника $MOL$ перпендикулярна плоскости $EMD$ и $OH=\sqrt{\frac{5}{7}}$.

Тогда отрезок $HD$ — ортогональная проекция отрезка $OD$ на плоскость $EMD$ и из прямоугольного треугольника $OHD$

$\sin\angle(AD, EMD)=\frac{OH}{OD} =\sqrt{\frac{5}{7}}:1=\sqrt{\frac{5}{7}}$.

Ответ:

$\sqrt{\frac{5}{7}}$.