Элементарная математика. Геометрия.

Задача 32

В правильной треугольной пирамиде $MABC$ с основанием $ABC$ известны ребра $AB=7\sqrt3$, $MC=25$. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер $AM$ и $BC$.

Решение:

Пусть $D$ и $E$ — середины ребер $CB$ и $AM$ соответственно. Так как пирамида правильная, то $AD\perp CB$ и $MD\perp CB$. Следовательно, $CB \perp AMD$ и $ABC \bot AMD$ (по признаку перпендикулярности плоскостей).

Опустим в плоскости $AMD$ перпендикуляры $MO$ и $EF$ из точек $M$ и $E$ на прямую $AD=ABC \cap AMD$ (см. рис.). Так как $AD$ — прямая пересечения перпендикулярных плоскостей, то $MO$ и $EF$ — перпендикулярны к плоскости основания. Тогда точка $O$ — основание высоты $MO$ является центром треугольника $ABC$ и $AO=\frac{AB}{\sqrt3}=7$, $OD=\frac{AO}{2}=\frac{7}{2}$, а прямая $FD$ — ортогональная проекция прямой $DE$ на плоскость основания. Точка $F$ — середина отрезка $AO$ ($EF\||MO$ и $EF$ — средняя линия треугольника $AMO$). Тогда $FD=FO+OD=7$.

Высоту пирамиды находим из прямоугольного треугольника $AMO$:

$MO=\sqrt{{AM}^2 -{AO}^2}=\sqrt{{25}^2-{7}^2}=24$.

Тогда $EF=12$.

Так как угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость, то из прямоугольного треугольника $FED$ получаем

$\text{tg}\angle(ED, ABC)=\frac{EF}{FD}=\frac{12}{7}$.

Значит, искомый угол равен $\text{arctg} {\frac{12}{7}}$.

Ответ:

$\text{arctg} {\frac{12}{7}}$