Элементарная математика. Геометрия.

Задача 35

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найти двугранный угол между основанием и боковой гранью.

Решение:

Пусть $E$ и $K$ — середины ребер $AD$ и $BC$ соответственно, $O$ — центр основания $ABCD$ (см. рис.). Тогда $SE \bot AD$, $EK \bot AD$ и поэтому $\angle SEK = \varphi$ — линейный угол данного двугранного угла. Так как $AD = 1$, $OE=\frac{1}{2}$, $SD=1$, то

$SE=\sqrt{SD^2-ED^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt3}{2}$,

$\cos{\varphi}=\frac{OE}{SE}=\frac{1}{\sqrt3}$,

$\varphi=\arccos{\frac{1}{\sqrt3}}$.

Ответ:

$\arccos{\frac{1}{\sqrt3}}$.