Элементарная математика. Геометрия.

Задача 36

В правильной шестиугольной пирамиде, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти косинусы двугранных углов при основании и при боковом ребре.

Решение:

Рассмотрим пирамиду $MABCDEF$. Поскольку пирамида правильная, то равны все ее двугранные углы при основании и равны все углы между любыми ее смежными боковыми гранями. Найдем, например, угол между плоскостью основания и боковой гранью $MAF$ и угол между боковыми гранями $FME$ и $MDE$ (см. рис.).

Прямая $AF$ – ребро двугранного угла $MAFE$. Пусть O — центр основания, тогда $MO$ — высота пирамиды. Пусть $L$ — середина отрезка $AF$, тогда $ML$ — апофема грани $AMF$,
$ML=\sqrt{AM^2-AL^2}=\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$.
По теореме о трех перпендикулярах прямая $LO$ перпендикулярна $AF$. Следовательно, $\angle{MLO}$ — линейный угол двугранного угла $MAFB$. $LO=\frac{\sqrt{3}}{2}$, так как является высотой равностороннего треугольника $AOF$ со стороной 1. Из прямоугольного треугольника $LMO$ находим
$\cos{\angle{MLO}}=\frac{LO}{ML}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Прямая $ME$ — ребро двугранного угла $FMED$. В треугольниках $FME$ и $MDE$ проведём высоты к стороне $ME$ из точек $F$ и $D$ соответственно. Поскольку $\triangle FME=\triangle DME$, то эти высоты «сойдутся» в одной точке $N$. Следовательно, $\angle{DNF}$ — линейный угол двугранного угла $FMED$.
Из равенства треугольников $FME$ и $MDE$ следует равенство высот $FN$ и $DN$. Найдем $FN$. Для этого вычислим площадь треугольника $FME$. Поскольку апофема грани $FME$ равна $ML=\frac{\sqrt{15}}{2}$, $S_{FME}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{15}}{4}$, то высота $FN$, опущенная на $ME$, равна:
$FN=\frac{2S_{FME}}{ME}=\frac{\sqrt{15}}{4}$.
Далее, рассмотрим равнобедренный треугольник $FDN$. В нем $FD=2LO=\sqrt{3}$. Косинус угла $DNF$ можно найти, воспользовавшись теоремой косинусов для стороны $DF$:
$cos{\angle{FND}}=\frac{FN^2+DN^2-FD^2}{2\cdot FN\cdot DN}=-\frac{3}{5}$.
Таким образом, искомые косинусы двугранных углов при основании и при боковом ребре равны $\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $-\frac{3}{5}$ соответственно.

Ответ:

$\frac{1}{\sqrt{5}}$, $-\frac{3}{5}$.