Элементарная математика. Геометрия.

Задача 37

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковое ребро равно $b$, а сторона основания $a$. Найти косинус угла между плоскостями $ABC_1$ и $A_1B_1C$.

Решение:

Построим линию пересечения плоскостей $ABC_1$ и $A_1B_1C$ (см. рисунок). Диагонали $AC_1$ и $A_1C$ в боковой грани $AA_1C_1C$ призмы пересекаются в точке $D$ и делятся этой точкой пополам. Аналогично, диагонали $BC_1$ и $B_1C$ в боковой грани $BB_1C_1C$ призмы пересекаются в точке $E$ и также делятся этой точкой пополам. Точки $D$ и $E$ — общие точки плоскостей $ABC_1$ и $A_1B_1C$, поэтому прямая $DE$ является линией их пересечения. Кроме того, отрезок $DE$ является средней линией равнобедренных треугольников $ABC_1$ и $A_1B_1C$, а значит, $DE$ $\parallel$ $AB$ и $DE$ $\parallel$ $A_1B_1$. Рассмотрим равнобедренные треугольники $C_1DE$ и $CDE$. Они равны по трем сторонам. Проведем в этих треугольниках медианы $C_1N$ и $CN$ к общему основанию $DE$. Тогда $C_1N$ $\perp$ $DE$ и $CN$ $\perp$ $DE$. Следовательно, $\angle$ $C_1NC$ — линейный угол двугранного угла $C_1DEC$. Найдем теперь косинус угла $C_1NC$. С этой целью рассмотрим равнобедренный треугольник $C_1NC$.
В нем $C_1N = CN = \frac{CM}{2} = \frac{\sqrt{CB_1^2 - MB_1^2}}{2} = \frac{\sqrt{3a^2+4b^2}}{4}$, $CC_1 = b$. Воспользовавшись теоремой косинусов для стороны $CC_1$, получим:

$\cos{\angle{C_1NC}} = \frac{C_1N^2 + CN^2 - CC_1^2}{2C_1N*CN} = \frac{3a^2 - 4b^2}{3a^2+4b^2}$.

В рассматриваемом примере требуется найти косинус угла $\phi$ между плоскостями $ABC_1$ и $A_1B_1C$. Встает закономерный вопрос. Нашли ли мы косинус того угла, который требуется в условии, или же нам требуется косинус смежного с ним угла $C_1NM$ (кстати, на рисунке через $\phi$ обозначена величина именно этого угла)? На этот вопрос можно ответить следующим образом. Согласно определению угла между плоскостями, его величина может быть в пределах от 0 до $\frac{\pi}{2}$, т.е. косинус такого угла должен быть положительным. Поэтому, если $3a^2 - 4b^2 < 0$, то $\cos{\phi} = \cos{\angle{C_1NM}} = \frac{4b^2 - 3a^2}{3a^2 + 4b^2}$ (поскольку косинусы смежных углов равны по абсолютной величине и противоположны по знаку). Таким образом, окончательно: $\cos{\phi} = \frac{|3a^2 - 4b^2|}{3a^2 +4b^2}$.

Ответ: