Элементарная математика. Геометрия.

Задача 1

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на диагоналях граней $AD_1$ и $D_1B_1$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $D_1E = \frac{1}{3}AD_1$, $D_1F = \frac{2}{3}D_1B_1$. Найти длину отрезка $EF$.

pic1
Длину отрезка $EF$ найдем по теореме косинусов из треугольника $D_1EF$, в котором $D_1F = \frac{2}{3}\sqrt{2}$, $D_1E = \frac{1}{3}\sqrt{2}$, $\angle FD_1E = \frac{\pi}{3}$ (треугольник $AB_1D_1$ является равносторонним). Имеем $EF^2 = D_1E^2 + D_1F^2 - 2D_1E \cdot D_1F \cdot \cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{2}{9} + \frac{8}{9} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$, откуда $EF = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{3}$