Элементарная математика. Геометрия.

Задача 2

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $E$ и $K$ — середины ребер $AA_1$ и $CD$ соответственно, а точка $M$ расположена на диагонали $B_1D_1$ так, что $B_1M = 2MD_1$. Найти расстояние между точками $Q$ и $L$, где $Q$ — середина отрезка $EM$, а $L$ точка отрезка $MK$ такая, что $ML = 2LK$.

Введем прямоугольную систему координат. Тогда $E \begin{pmatrix} 0; & 0; & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$, $K \begin{pmatrix} 1; & \frac{1}{2}; & 0 \end{pmatrix}$, $B_1 \begin{pmatrix} 0; & 1; & 1 \end{pmatrix}$, $D_1 \begin{pmatrix} 1; & 0; & 1 \end{pmatrix}$. Для нахождения координат точки $M$ используем формулу координат точки, делящей отрезок $B_1D_1$ в отношении $2:1$. Имеем $M \begin{pmatrix} \frac{0 + 2 \cdot 1}{1 + 2}; & \frac{1 + 2 \cdot 0}{1 + 2}; & \frac{1 + 2 \cdot 1}{1 + 2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3}; & \frac{1}{3}; & 1 \end{pmatrix}$. Аналогично получим координаты точки $L$, делящей отрезок $MK$ в отношении $2:1$. Имеем $L \begin{pmatrix} \frac{\frac{2}{3} + 2 \cdot 1}{1 + 2}; & \frac{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2}}{1 + 2}; & \frac{1 + 2 \cdot 0}{1 + 2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{9}; & \frac{4}{9}; & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$. Координаты точки $Q$ равны полусуммам соответствующих координат точек $E$ и $M$, поэтому $Q \begin{pmatrix} \frac{1}{3}; & \frac{1}{6}; & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$. Применим формулу для расстояния между точками с заданными координатами $LQ = \sqrt{\left( \frac{1}{3} - \frac{8}{9} \right)^2 + \left( \frac{1}{6} - \frac{4}{9} \right)^2 + \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \right)^2} = \sqrt{\frac{725}{36^2}} = \frac{5\sqrt{29}}{36}$.

Ответ:

$\frac{5\sqrt{29}}{36}$