Элементарная математика. Геометрия.

Задача 10

В единичном кубе $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ найти расстояние от точки $C_1$ до плоскости $AB_1C$.

Решение:
Так как прямая $A_1 C_1$ параллельна $AC$, то прямая $A_1C_1$ параллельна плоскости $AB_1C$. Поэтому искомое расстояние $h$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $A_1C_1$ до плоскости $AB_1C$. Например, расстояние от центра $O_1$ квадрата $A_1 B_1 C_1 D_1$ до плоскости $AB_1C$ равно $h$.

Пусть $E$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O_1$ на прямую $B_1 O$ , где $O$ — центр квадрата $ABCD$. Прямая $O_1E$ лежит в плоскости $BB_1D_1D$, а прямая $AC$ перпендикулярна этой плоскости. Поэтому $O_1E \bot AC$ и $O_1E$ — перпендикуляр к плоскости $AB_1C$, а $O_1E = h$.

Так как $B_1O_1 = \frac {\sqrt{2}}{2}$, $O_1O = 1$, то $OB_1 = \sqrt{\frac{1}{2} +1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$. Выражая двумя способами площадь треугольника $B_1 O_1 O$, получим $h \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac {\sqrt{2}}{2} 1$ , откуда $h =\frac {\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac {\sqrt{3}}{3}$.