Элементарная математика. Геометрия.

Задача 33

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, ребра которой равны $1$, найти угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ACE_1$.

Решение:
Введем прямоугольную систему координат. Тогда $A \left (1;0;0\right ),\; B_1 \left( \frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right),\; \vec{AB_1} =\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)$. Составим уравнение плоскости, проходящей через точки $A \left (1;0;0\right ),\; C \left(- \frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right),\; E_1 \left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2};1\right).$ Подставляя координаты этих точек в общее уравнение плоскости $ax+by+cz+d=0$, получаем систему $\left\{ \begin{array}{c} a+d=0,\\ -\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+d=0, \\ -\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b+c+d=0 \end{array}\right.$. Отсюда имеем $a=-d,\; b=-\sqrt{3}d,\;c=-3d$. Подставим в уравнение плоскости и сократим на $d\neq 0$: $x+\sqrt{3}y+3z-1=0$. Вектор нормали полученной плоскости $\vec{n} = \left (1;\sqrt{3};3\right )$. Тогда $sin\varphi=\frac{|\vec{AB_1}\;\vec{n}|}{|\vec{AB_1}||\vec{n}|}$, где $\varphi$ $-$ искомый угол. Имеем $sin\varphi=\frac{4}{\sqrt{2}\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{26}}{13}$. Отсюда $\varphi=arcsin\frac{2\sqrt{26}}{13}$.

Ответ:

$\;arcsin\frac{2\sqrt{26}}{13}$