Элементарная математика. Геометрия.

Задача 20

Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна $a$.

Решение:

Построим плоскость, которая содержит $AD_1$ и является параллельной $A_1C_1$.
Плоскости $BB_1D_1$ и $AD_1C$ перпендикулярны. При повороте куба на $\alpha=72^{\circ}$ и $\beta=45^{\circ}$ получаем рисунок:

pic2

Так как $B_1D \perp D_1O_1$ (из подобия треугольников $BDB_1$ и $O_1DD_1$), то $ON \perp AD_1C$ и из подобия треугольников $BB_1D$ и $OD_1N$ следует:
$\frac{ON}{BD}=\frac{OD_1}{B_1D}$ или $h=ON=\frac{BD\cdot OD_1}{B_1D}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{a\sqrt{3}}{3}$