Элементарная математика. Геометрия.

Задача 28

Угол между боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды, не лежащими в одной грани, равен $120^\circ$. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ проведем диагональное сечение $ASC;$

$SD$ — наклонная к плоскости сечения, $SO$ — высота пирамиды и проекция $SD$ на эту плоскость, $SC$ — прямая, проведенная в плоскости $ASC$ через основание наклонной.

По условию $\angle{ASC}=120^\circ$.

На основании теоремы о трех косинусах имеем:

$\cos{\angle{DSC}}=\cos{\angle{DSO}}\cdot\cos{\angle{CSO}}$.

Отсюда

$\cos{\angle{DSC}}=\cos{60^\circ}\cdot\cos{60^\circ}=\cos^{2}{60^\circ}=\frac{1}{4}$

Следовательно, $\angle{DSC}=\arccos{\frac{1}{4}}$.

Ответ:

$\arccos{\frac{1}{4}$