Элементарная математика. Геометрия.

Задача 27

В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найти угол между прямыми $EF$ и $PQ$, где $E, F, P, Q$ — середины ребер $DD_{1}, BC, AA_{1}$ и $B_{1}C_{1}$ соответственно.

Решение:

Пусть $\vec{AD} = \vec{a}, \vec{AB} = \vec{b}, \vec{AA_{1}} = \vec{c},$ где $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1,$ $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c} = \vec{b}\cdot\vec{c} = 0.$

Тогда $\vec{EF}=\vec{ED}+\vec{DC}+\vec{CF}=-\frac{1}{2}\vec{c}+\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a},$ $\vec{PQ}=\vec{PA_{1}}+\vec{A_{1}B_{1}}+\vec{B_{1}Q}=\frac{1}{2}\vec{c}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$.

Отсюда находим $\vec{PQ}\cdot\vec{EF}=(\frac{1}{2}\vec{c}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a})(-\frac{1}{2}\vec{c}+\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})=\vec{b}^{2}-\frac{1}{4}\vec{c}^{2}-\frac{1}{4}\vec{a}^{2}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ ;

$|\vec{PQ}|=\sqrt{(\frac{1}{2}\vec{c}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}\vec{c}^{2}+\vec{b}^{2}+\frac{1}{4}\vec{a}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$;

$|\vec{EF}|=\sqrt{(-\frac{1}{2}\vec{c}+\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}\vec{c}^{2}+\vec{b}^{2}+\frac{1}{4}\vec{a}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Подставляя полученные значения в формулу, имеем:

$\cos{\varphi}=\frac{|\vec{PQ}\cdot\vec{EF}|}{|\vec{PQ}|\cdot|\vec{EF}|}=\frac{1}{2}:\frac{3}{2}=\frac{1}{3}.$

Отсюда $\varphi=\arccos{\frac{1}{3}},$ где $\varphi-$ искомый угол.

Ответ:

$\arccos{\frac{1}{3}}$