Элементарная математика. Геометрия.

Задача 157.

Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Эта задача, как и многие другие, имеет несколько способов решения. Однако, как подступиться к решению, если ранее не решал подобных задач. Есть мнение, что задача на 50% решена, если правильно понято условие. В нашем случае в условии говорится об отрезках диагоналей трапеции и площадях треугольников. Поэтому совершенно естественно взять и записать сразу площадь указанных треугольников как половина произведения двух сторон на синус угла между ними, т.е. через отрезки диагоналей. Правда, не все школьники знают эти формулы, но они легко получаются на основании классической: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Итак, I способ.

Обозначим $DE=a$, $EB=b$, $AE=c$, $EC=d$, $\angle BEC= \alpha$, тогда площади $S_1$ и $S_2$ треугольников, образованных отрезками диагоналей и основаниями можно записать так:

$S_1=\frac{1}{2} \;a \;d\; sin\alpha$ и $S_2=\frac{1}{2} \;b \;c \;sin\alpha$.

Ну это хорошо, а что делать дальше? Не вы первый задаете этот вопрос, его задавали и задают себе все, кто не только решал и решает задачи, но и писал всемирно известный роман "Что делать" — Чернышевский Н.Г. В нашем случае надо найти всю площадь трапеции. Но если мы уже записали формулы для части трапеции, то будем уже их писать для оставшейся по аналогии с предыдущими

$S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2} \; b \; d \; sin\alpha$ и $S_{\triangle AED}=\frac{1}{2} \; a \; c \; sin\alpha$.

Не надо долго всматриваться в написанные выражения, чтобы заметить, что попарные произведения площадей равны:

$S_1 S_2=S_{\triangle AED} S_{\triangle BEC}=\frac{1}{4} \; abc d \; sin^2\alpha$.

На этом месте опять вопрос, как решать дальше? Единственно возможный вариант: предположить, а что, если площади $\triangle AED$ и $\triangle BEC$ равны. Об этом свойстве знают продвинутые, а для других отметим, что треугольники $AED$ и $BEC$ равновеликие, так как их площади, получаются вычитанием площади треугольника $AEB$ из площадей равновеликих треугольников $ADB$ и $ACB$:

$S_{\triangle AED} =S_{\triangle BEC}=\sqrt{S_1 S_2}$.

$S=S_1+S_2+S_{\triangle AED}+S_{\triangle BEC}=S_1+S_2+2\sqrt{S_1 S_2}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2$.

II способ.

Проведем высоту трапеции $GF$, тогда $S=\frac{DC+AB}{2}GF$.

Поскольку $GF$ складывается из высот треугольников $DEC$ и $AEB$, обозначим их $h_1$ и $h_2$ соответственно, то

$S=\frac{DC+AB}{2}(h_1+h_2)= S_1+S_2+\frac{DC\,h_2+AB\,h_1}{2}$.

Т.к. треугольники $DEC$ и $AEB$ подобны,

$\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}=\frac{DC}{AB}=\frac{h_1}{h_2}$.

Тогда из формулы для нахождения $S$ слагаемое $\frac{DC\,h_2+AB\,h_1}{2}=\frac{DC\,h_1}{2} \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}+\frac{AB\,h_2}{2} \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}=S_1 \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}+S_2 \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}=2 \sqrt{S_1 S_2}$.

Следовательно $S=S_1+S_2+2\sqrt{S_1 S_2}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2$.

Ответ:

$S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2$