Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В треугольнике $ABC$ даны стороны $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла $B$.

Решение:

Биссектриса угла, по определению, делит его пополам. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе угла треугольника, которая к большому сожалению не всем известна. Предварительно отметим, что биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ является также биссектрисой треугольника $ABM$. В частности, для биссектрисы $BM$ по упомянутой выше теореме справедливо соотношение $\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{BC}$.

Обозначим отрезок $AM$ через $x$. Тогда $MC=b-x$.

Подставляем в записанное нами выше соотношение $AM, \,MC, \,AB, \,BC$ и получаем $\frac{x}{b-x}=\frac{c}{a}$.

После преобразований находим, что $x=\frac{b\,c}{a+c}$.

Для биссектрисы $AO$ справедливо соотношение $\frac{MO}{OB}=\frac{x}{c}=\frac{b\,c}{(a+c)c}=\frac{b}{a+c}$.

Ответ:

$\frac{MO}{OB}=\frac{b}{a+c}$.