Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В ромб с высотой $h$ и острым углом $\alpha$ вписана окружность. Найдите радиус наибольшей из двух возможных окружностей, каждая из которых касается данной окружности и двух сторон ромба.

Решение:

Пусть точка $O$ — центр вписанной в ромб окружности. При построении получаем две окружности, каждая из которых касается данной окружности и двух сторон ромба. Наибольшей будет та, которая касается сторон острого угла. Точка $O_1$ — центр этой окружности. $OM$ и $O_1K$ — радиусы, проведенные в точки касания перпендикулярно стороне $BC$.

Для решения задачи проведем отрезок $KL$, параллельно отрезку $OO_1$, соединяющему центры окружностей. Обозначим буквами $K$ и $M$ точки касания окружностей с прямой $BC$. Четырехугольник $KO_1OL$ — параллелограмм. Следовательно, $KO_1=LO=r$, где $r$ — искомый радиус. Рассмотрим $\bigtriangleup{KLM}$. Сторона $LM=\frac{h}{2}-r$, $LK=OO_1=\frac{h}{2}+r$, $\angle{LKM}=\frac{\alpha}{2}$. Таким образом, $\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{LM}{LK}=\frac{\frac{h}{2}-r}{\frac{h}{2}+r}$. После преобразований получаем, что $r=\frac{h}{2}\cdot\frac{1-\sin{\frac{\alpha}{2}}}{1+\sin{\frac{\alpha}{2}}}$.

Ответ:

$\frac{h}{2}\cdot\frac{1-\sin{\frac{\alpha}{2}}}{1+\sin{\frac{\alpha}{2}}}$.